【数学建模论文】基于灰色模型的艾滋病疗法评价及疗效预测

【数学建模论文】基于灰色模型的艾滋病疗法评价及疗效预测

基于灰色模型的艾滋病疗法评价及疗效预测摘要本文根据题目所给数据，利用改进的非等时空距 GM(1,1)模型对艾滋病治疗方法的 效果进行预测，并利用灰色局势决策对艾滋病疗法做出评价。在问题⑴中，通过数据拟合将非等间隔的时间处理为等间隔，利用常见灰色模型的 思想建立了改进的GM(1,1)模型，对病人体内CD4、HIV浓度进行短期内的预测。利用统 计学中的协方差函数构造评价疗效的标准函数，通过最优化模型来确定停药时间。在问题⑵中，先将 1300 多名病人按年龄分成 6 组，通过构造灰色局势决策模型来 考察4种疗法对于不同年龄组的疗效优劣，经过比较得到方法4适用于大多数艾滋病患 者的治疗方法，并且利用问题⑴中的模型，对最优治疗方法进行了预测。在问题⑶中，以4种疗法药物的价格为一目标，结合问题⑵中的疗效为另一目标， 构造双目标灰色局势决策模型。本文考虑了不同的患者在治疗中的心理不同，由此巧妙 的引入了心理倾向系数，根据患者的要求取不同的权值，评价治疗方法。当同等考虑药 效与价格时，方法 4仍然是最优的。模型所得结果，在不同的条件下都能很好的符合实 际情况。关键字灰色模型 改进的GM(1,1)模型 样本协方差 灰色局势决策1问题提出艾滋病是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。

这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。 人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解 时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。利用ACTG机构公布的两组数据：1．同时服用3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV浓度。2．将三百多名病人随机的分成 4 组，每组按照一种疗法服药，大概每隔 8 周测试的CD4的浓度。考虑以下问题：⑴利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时 间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终 止治疗）。⑵利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对 较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。⑶艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg 1.60 美元，400mg 0.85 美元，2.25 mg 1.85 美 元，400 mg 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对⑵中的评价 和预测（或者提前终止）有什么改变。

模型假设⑴以 10 岁为一个年龄段，每个年龄段的人若不考虑病情的严重程度，对药物的吸 收程度是相同的。⑵对数据 2 中年龄分段，除了 70 岁以上的病人，其余各阶段中数据足以反映该年 龄所有病人的治疗效果。符号说明 ID ：病人的ID 号 t ：某病人的测量时间 t ：某病人的第 个测试时间i i N ：某病人的的样本中所给测量值的总个数 ：某病人时间和CD4浓度的样本协方差 Cov ：某病人时间和HIV浓度的样本协方差HIV X (0) (t ) ：ID 号病人在t 时，CD4的值ID ii2 X (1) (t ) ：ID 号病人在t 时，CD4的累加值ID ii Y(0) (t ) ：ID 号病人在t 时，HIV的值ID ii Y(1) (t ) ：ID 号病人在t 时，HIV的累加值ID ii (1) X ID (t +1) ：ID 号病人灰微分方程的解 X kh ：表示第k 人的第h 个CD4值 X k ：表示第k 人的CD4均值 T ：表示第k 人的第h 个时间kh T ：表示第k 人的时间均值k a ：为事件，表示第 组人治疗情况的好坏i i b ：为对付事件a 的对策，表示用第j 种疗法对i 组人治疗情况的好坏ji s(a ,b ) ：为局势ijj j r ：效果测度 ij D(r ) ：由r 构成的决策矩阵ij 6×4ij问题求解 问题⑴：①模型建立对问题⑴我们利用灰色模型来预测治疗的效果。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发 展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规 律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来 发展趋势的状况。普通的灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量 值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。但因为 本题测试时间的间隔不等，于是先采用数据拟合根据样本所给值进行拟合，从而得到每 个病人在每周的 CD4,HIV 的测量值。然后，根据 GM(1,1)模型对 CD4,HIV 的浓度进行预 测。设经过插值以后的得到的某病人测量值序列为：X (0) {X (0) (t )} i 1,2,LIDID i建立微分方程dX (1)ID +aX (1) u(1)dt3T −1 T$按最小二乘估计，a(B B) B YNa$其中au1(1)(1)( (2)(1)) 1− X+(1)(1)− (X ID (3) +X ID (2)) − (X (1) (N ) +X (1) (N −1))IDID2(0)(0)(0) TY ( X (2), X (3), L, X ( N))(1)uu灰微分方程⑴的响应函数为： ( +1)( (0) (1) =− ) −at +X ID (0)(1)(1)其还原函数为：X ID(t +1) X ID (t =+1) −X ID (t)②模型求解⑴通过编程可以预测短期内病人每隔四周体内所含CD4的浓度， ID 23426 23427 23428 23429 23430 23431 23432 23433 预 136．67 355．2 133．2 ．5 159．2 225．3 98．4 36866 测 点 1 预 50．725 365．3 140．5 ．8 190．3 ．3 测 点 2（其余数据略）表 1⑵可以通过同样方法预测短期内病人每隔四周体内所含HIV的浓度， ID 23424 23425 23426 23429 23430 23431 23432 23433 预4．42．12．62．11．84．21．71．71．73．7 测 点 1 预4．91．83．12．61．74．41．81．71．74．5 测 点 2（其余数据略）4表 2⑶预测最佳治疗中止时间：人体感染了HIV后，涉及的主要病理过程就是免疫系统的损害，主要表现为：CD4 T 淋巴细胞的丢失，绝对数量的减少。

CD4 T淋巴细胞记数作为直接测定免疫功能的方法， 是提供HIV感染病人免疫系统损害状况最明确的指标。对每人的CD4的测量样本，利用样本协方差1Cov∑(( X =−X )(T −T )) −1 t对每人的HIV测量样本，同样有样本协方差1Cov∑((Y =−Y )(T −T )) −1 t协方差是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即两个变量相互影 响大小的参数，协方差的绝对值越大，两个变量相互影响越大。因此 表示了时间 与CD4浓度的相关性。若CD4浓度随时间的增长而增长，则协方差为正数且增长的越多值越大；若CD4浓度随时间增长而一直降低，则协方差为一负数且降低得越多值越小；若随时间增长，CD4浓度时增时降，则协方差的值介于上面两种情况之间。经验认为：CD4浓度一直增长是最好的情况，时增时降时，希望增加的时候比降低 的时候多，一直降低是最不愿意见到的情况。例如：某3人ID疗法时间Log(CD4 count+1)120.00003..57143..57142..57142..57143..00003..00002..42862..42862..42864..00002..00001..00001..14291..00000..00000.0000表 3由数据可以看出1号病人CD4浓度变化不大，基本上保持；54号病人CD4浓度一直 下降；51 号病人 CD4 浓度刚开始稍有下降但后来急速上升。

常理认为 51 号病人治疗效5 果最好，其次是1号病人，最差的是54号病人。通过计算得到这3人的样本协方差分别为：0.13267，4.，-9.51684通过大小判断有：Cov(51) Cov(1) Cov(54) ，与常理相符。因此用协方差的大小来表示药效的好坏是合理的。构造函数fCov =⋅Cov ，以此作为每个病人治疗效果的衡量标准，函数值越 4 小代表治疗效果越好。得到最优化模型：Min f Cov ⋅ CD 4s.t . Cov 0 ， ID 23424 23425 23426 23427 23428 23429 23430 23431 23432 .3323 -35.89 -1.243 -48.28 14.35 -29.72 -11.52 -37.57 -16.42 2.511 f ID（其余数据略）表 4 根据模型，23427、23425、23431 治疗效果都不错，23424、23433、23428 治疗效果比 较差。

23428应立即停止服药问题⑵我们需要评价4种疗法的优劣，换句话说，也可以认为是要我们在4种疗法中作决 策。我们利用灰色局势决策来解决这一问题。① 数据处理对所给的数据按年龄分组，每10岁为一组，得到：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,+∞) 7组数据。但根据数据我们发 现：70 岁以上的病人极少，在以下模型中我们暂时不考虑 70 岁以上的年龄段，只考虑 其他6组年龄段。设每个年龄段中有K 人，每人有H 组数据（测量了h 次）。X kh ：表示第k 人的第h 个CD4值X k ：表示第k 人的CD4均值T ：表示第k 人的第h 个时间khT ：表示第k 人的时间均值k② 模型建立记a 为事件，表示第i 组人治疗情况的好坏；b为对付事件a 的对策，表示用第j 种iji 疗法对i 组人治疗情况的好坏。称二元组合s(a ,b ) 为局势，为用第j 个对策去对付ij j j6 第i 个事件的局势，表示用第j 种疗法去治疗第i 组病人的局势。记事件集A{a ,i 1,2,L6}，对策集B{b , j 1,2,3,4}ij1对每人的测量样本，利用样本协方差Cov kX =−XT −T( )∑((khk )( kh k ))H −1 h对某年龄段的病人，我们以11u((( X =−X )(T −T )))ij∑ ∑ khk kh kK k H −1 h表示第i 组年龄段用第j 种疗法的实测效果uij定义上限效果测度：r， Max{uij }上限效果测度适用于“越大越好”这类目标。

则A ×B 相应的效果测度构成决策矩阵： 12 13 22 23 62 63 64记D 中的决策行为S(r , r , r , r ) 表示对事件a ，用b ,b ,b ,b 对策分别去对付所ii1 i 2 i 3 i 4i1 2 3 4 构成的决策元向量。记D 中的决策列为θ (r, r , L, r )T 表示用对策b 去匹配a , a ,L, a 所构成的j1j 26 决策元向量。对每一个S ，找出最大的一个分量，则得到行最优局势；i对每一个θ ，找出最大的一个分量，则得到列最优局势；j③ 模型求解通过编程得到D 矩阵−1.24961.000−0.7444−0.4570−0.4897−0.5472−0.40010.2615−0.7156−0.5467−0.4419−0.0054D−0.4500−0.2801−0.3184−0.0244−0.4398−0.69930.0016−0.0934−0.4261−0.37190.93530.1420找出行最优局势：s12 ,s24 ,s34 ,s44 ,s53 ,s637列最优局势：s61 ,s12 ,s63 ,s24在此出现了s61 和s63 最优局势不一致的情形，需进一步处理，进行行列协调：Max{s61 ,s63 } s63最后的最优局势为：s12 ,s24 ,s34 ,s44 ,s53 ,s63④ 模型解释：s (a ,b ) 对[10,20) 年龄段的人使用第2种疗法效果最好12 1 2s (a ,b ) 对[20,30) 年龄段的人使用第4种疗法效果最好24 2 4s (a ,b ) 对[30,40) 年龄段的人使用第4种疗法效果最好34 3 4s (a ,b ) 对[40,50) 年龄段的人使用第4种疗法效果最好44 4 4s (a ,b ) 对[50,60) 年龄段的人使用第3种疗法效果最好53 5 3s (a ,b ) 对[60,70) 年龄段的人使用第3种疗法效果最好63 6 3数据显示，HIV 感染者基本上是 20 至 50 岁，因此综合看来，第 4 种疗法更适用于 普遍治疗。

以下将对采用疗法4的病人进行效果预测，我们从每个年龄段里随即的选择了一个 病人在下一个测试点的CD4浓度的预测值附在下表中。 年龄段[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70) CD4浓度2.01423.11324.22913.62832.49434.5924表 5与问题⑴不同，问题⑵中只有CD4的值，改进优化模型为 年龄段[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70) ．2548-5.65837.49326.5392-2.75385.9756 表 6因1028病人CD4随时间降低程度较大，所以应停止服药。问题⑶8① 模型建立在问题⑵的基础上，再综合考虑价格，这是一个多目标的灰色局势决策。以 价格为另一目标，在这一目标下：仍然记a 为事件，表示第i 组人治疗情况的好坏；记b为对付事件a 的对策，iji 表示用第j 种疗法对i 组人治疗的价格。称二元组合s(a ,b ) 为局势，为用第j 个对策ijj j 去对付第i 个事件的局势，表示用第j 种疗法治疗第i 组病人价格的局势。

−0.46131.0000−0.3266−0.2427−1.5773−0.2903−0.30710.0458−0.3899−0.3341−0.2611−0.0625记问题⑵中的决策矩阵为：D1−0.2722−0.0287−0.2244−0.1131−0.2343−0.3703−0.1029−0.1406−0.2376 −0.12780.23220.0221利用问题⑵中同样方法，可以得到以价格为目标的决策矩阵D2② 模型求解每种疗法以其平均价格作为实测效果，则有：1u11 u21 L u61(1.60 +0.85)1. u1.60+1.853.4512 u1.60+0.852.4513 u1.60+0.85+1.33.6514 2464我们希望价格越低越好，因此我们采用下限效果测度 Min umin{ ij }ij1 0.355 0.5 0.3361 0.355 0.5 0.3361 0.355 0.5 0.336由此得到对应的决策矩阵D21 0.355 0.5 0.3361 0.355 0.5 0.3361 0.355 0.5 0.336这时令多目标局势决策的综合矩阵DλD +λD，Σ1 1 2 2其中，我们称λ,λ 为病人心理倾向系数，应满足：λ +λ 1,1=≥λ ,λ ≥0 ；1 21 21 2若病人倾向于治疗效果，则λ λ ；129 若病人倾向于治疗费用，则λ λ ；1 2 在实际生活中，λ,λ 的确定方法有很多种，较好的方法是层次分析法。

，1 21 ⅰ.（等权目标灰局势决策） λ λ时，1 220.43750.6775−0.1222−0.06050.25515−0.09610...1422 −0.09585−0..1653 DΣ(D1 =+D2 )20.2750...15580.2801 −0.17215−0..12130.28695 −0...239得到最优决策为：s12 ,s24 ,s34 ,s41,s51,s61 ⅱ.（非等权目标灰局势决策） λ 0.6, λ 0.4 时，120..742−0.24664 −0.13980.10618−0.18632−0..2913−0.02936−0.18602−0.12802 0.13116 DΣ 0.6D1 =+0.4D20.13−0..03194 0..13612−0.27758−0.21958 0..14434 −0.08114−0..2196 得到最优决策为：s12 ,s24 ,s34 ,s41,s51,s64 ⅲ. λ 0.4, λ 0.6 时，120..6130.00224 0.01880.40412−0..13996 0.30620.31376−0..08132 0.19944 DΣ 0.4D1 =+0.6D20.420..18796 0..42408−0..02028 0..42956 0..15124 0.2584 得到最优决策为：s12 ,s21,s31,s41,s51,s6110下表为模型最终结果比较：各年龄段采用的最优治疗方法病人的综合最优不同倾向治疗方法[10,20) [20,30) [30, 40) [40,50) [50,60) [60,70)1λ λ 22λ 0.6, λ 0.