神奇的电磁世界:电动力学(电流和磁场)
电动力学(电流和磁场)
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在本期电动力学中,我们将探讨电流和磁场。与电荷和电场相比,它们有何不同和相似之处,它们的性质是什么?接下来,让我们一起开始新的探索吧!
电荷守恒定律
流过导线的电流通常用流过导线横截面的总电流I来描述。然而,电流强度是一个宏观物理量,对电荷运动的描述非常粗略:带电粒子在空间各个点的运动速度可能不同,电流强度并不能描述其运动速度的分布;电流强度是一个标量,带电粒子的运动方向是在空间中。这些点可能有所不同,并且电流强度并不描述皮带运动方向的差异。
很多时候,我们不仅想知道总电流,还想知道总电流在导体内是如何分布的。因此我们引入一个新的物理量——电荷密度。
如图所示,设dS为某个面上的面元。此时其当前方向的角度为 θ。定义电流密度J,其方向沿该点电流方向。其值等于单位时间。垂直通过单位面积的电荷量。根据这些条件,我们可以求出通过表面元 dS 的 dI 为:
通过任意表面S的总电流I为:
如果电流由电荷密度为 ρ 且平均速度为 v 的带电粒子组成,则电流密度为:
附加电流由多种不同密度和平均速度的带电粒子组成。电流密度为:
电流密度是针对空间中的点定义的,而电流强度是针对有限表面定义的;电流密度是矢量,其方向与该点正电荷速度方向一致。
接下来我们看一下电流守恒定律:实验表明,电荷是守恒的,即电荷不能被破坏或产生,只能转移。
假设我们将某个区域V包裹在一个有闭合曲面S的空间中,如果有电荷通过闭合曲面S流出区域V,则单位时间内流出的电流显然为:
那么根据电流守恒定律,我们可以知道单位时间内通过闭合面S流出的电荷量应该等于区域V内单位时间减少的电荷量,即:
等式右边是V区单位时间内减少的电荷量。这是电荷守恒定律的积分形式,我们可以用高斯公式得到:
结合两个方程,显然动量守恒定律的微分形式为:
该方程也称为电流连续性方程。
在稳定电流的情况下,电荷等物理量不再随时间变化,因此我们会得到:
该式表明,稳态电流的电流密度散度为零,即稳态电流的电流线是一条闭合的无源曲线。总之,稳定电流只能存在于闭环中,断电后消失。
对于非稳态电流,从电流连续性方程可以看出,其电流线的收敛和发散都会伴随着电荷的积累。
安培定律和毕奥-萨伐尔定律
通过实验,我们发现电流与电流之间也存在着强大的相互作用。那么这个力怎么计算呢?物理学家安培通过实验得出真空中两个电流元件之间的力为:
由此可见,电流元素之间的相互作用力与电荷之间的相互作用力相同,并且服从平方反比定律。
同时,我们也发现了一个问题。由于是叉积,当前元素之间的相互作用力不满足牛顿作用力和反作用力定律,即F12和F21不相等。其实这个问题的出现是因为不可能有稳定的电流元件,所以我们看一下稳定条件下的闭环。
对于图中所示的闭环之间的力,我们有:
根据向量运算公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B),可得:
由此可见,闭环之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
就像两个电荷之间的力一样,电流之间的力也需要一个“场”来传递,即磁场。一种电流会激发磁场,当另一种电流处于磁场中时,就会受到磁场的作用。电流上的力是磁场的一个特性,我们用这个特性来描述磁场。通过实验,我们发现电流元件Idl在磁场中所施加的力可以表示为:
矢量B是电流元件所在点磁场的性质,称为磁感应强度。
由恒定电流激发的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出。设 J(x') 为源点 x' 处的电流密度,r 为 x' 到场点 x 的矢量直径,则场点处的磁感应强度为:
其中 μ0 是真空中的磁导率。
如果电流集中在细线上,dl表示回路L上的线元,那么我们可以将恒定电流激发的磁场写在细线上:
磁场发散度
与电场类似,如果我们想了解磁场的更多性质,就必须知道磁场的发散度和旋度。这里我们首先讨论磁场的发散度。
式中,A定义为矢量势:
由此我们可以得到:
我们在向量分析02中得出了一个结论,向量场的旋度一定是无源场,所以对于这个公式我们可以直接得到:
由上式可知,电流激发的磁场是被动的。那么是否存在与电荷相对应的磁荷源呢?根据目前对磁单极子(孤立磁荷)的探索,尚未发现它们存在的证据。因此,我们可以把这个公式视为磁场的基本定律。
磁场旋度
这里我们仍然需要使用矢量势A:
在:
对于第一项,可以使用高斯公式将体积积分转换为面积积分。对于包围面积V'的闭合曲面S,没有电流流过,因此面积积分的结果为零;而对于第二个任期,对于当前稳定的情况,我没有:
因此,这一项的积分结果也为零。
接下来我们计算∇²A:
上式的被积函数只能在x=x'点处非零,因此体积积分只需在x点周围的小球上积分即可。此时可取J(x')=J(x),将其取出积分符号,剩余部分积分即可:
因此,我们有:
但需要注意的是,我们在推导过程中采用的是稳态电流条件。显然,该公式仅在稳定电流条件下成立,并不是一般形式。
下一期预览
在初步了解了静电场和静磁场之后,下一期我们将开始了解麦克斯韦方程组,了解每个方程组背后的含义是什么。
对电磁世界好奇的朋友们,我们下期特刊再见。喜欢的话记得点击关注哦!
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