神奇的电磁世界：电动力学（电流和磁场）
电动力学（电流和磁场）
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在本期电动力学中，我们将探讨电流和磁场。与电荷和电场相比，它们有何不同和相似之处，它们的性质是什么？接下来，让我们一起开始新的探索吧！
电荷守恒定律
流过导线的电流通常用流过导线横截面的总电流I来描述。然而，电流强度是一个宏观物理量，对电荷运动的描述非常粗略：带电粒子在空间各个点的运动速度可能不同，电流强度并不能描述其运动速度的分布；电流强度是一个标量，带电粒子的运动方向是在空间中。这些点可能有所不同，并且电流强度并不描述皮带运动方向的差异。
很多时候，我们不仅想知道总电流，还想知道总电流在导体内是如何分布的。因此我们引入一个新的物理量——电荷密度。
如图所示，设dS为某个面上的面元。此时其当前方向的角度为 θ。定义电流密度J，其方向沿该点电流方向。其值等于单位时间。垂直通过单位面积的电荷量。根据这些条件，我们可以求出通过表面元 dS 的 dI 为：
通过任意表面S的总电流I为：
如果电流由电荷密度为 ρ 且平均速度为 v 的带电粒子组成，则电流密度为：
附加电流由多种不同密度和平均速度的带电粒子组成。电流密度为：
电流密度是针对空间中的点定义的，而电流强度是针对有限表面定义的；电流密度是矢量，其方向与该点正电荷速度方向一致。
接下来我们看一下电流守恒定律：实验表明，电荷是守恒的，即电荷不能被破坏或产生，只能转移。
假设我们将某个区域V包裹在一个有闭合曲面S的空间中，如果有电荷通过闭合曲面S流出区域V，则单位时间内流出的电流显然为：
那么根据电流守恒定律，我们可以知道单位时间内通过闭合面S流出的电荷量应该等于区域V内单位时间减少的电荷量，即：
等式右边是V区单位时间内减少的电荷量。这是电荷守恒定律的积分形式，我们可以用高斯公式得到：
结合两个方程，显然动量守恒定律的微分形式为：
该方程也称为电流连续性方程。
在稳定电流的情况下，电荷等物理量不再随时间变化，因此我们会得到：
该式表明，稳态电流的电流密度散度为零，即稳态电流的电流线是一条闭合的无源曲线。总之，稳定电流只能存在于闭环中，断电后消失。
对于非稳态电流，从电流连续性方程可以看出，其电流线的收敛和发散都会伴随着电荷的积累。
安培定律和毕奥-萨伐尔定律
通过实验，我们发现电流与电流之间也存在着强大的相互作用。那么这个力怎么计算呢？物理学家安培通过实验得出真空中两个电流元件之间的力为：
由此可见，电流元素之间的相互作用力与电荷之间的相互作用力相同，并且服从平方反比定律。
同时，我们也发现了一个问题。由于是叉积，当前元素之间的相互作用力不满足牛顿作用力和反作用力定律，即F12和F21不相等。其实这个问题的出现是因为不可能有稳定的电流元件，所以我们看一下稳定条件下的闭环。
对于图中所示的闭环之间的力，我们有：
根据向量运算公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)，可得：
由此可见，闭环之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
就像两个电荷之间的力一样，电流之间的力也需要一个“场”来传递，即磁场。一种电流会激发磁场，当另一种电流处于磁场中时，就会受到磁场的作用。电流上的力是磁场的一个特性，我们用这个特性来描述磁场。通过实验，我们发现电流元件Idl在磁场中所施加的力可以表示为：
矢量B是电流元件所在点磁场的性质，称为磁感应强度。
由恒定电流激发的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出。设 J(x') 为源点 x' 处的电流密度，r 为 x' 到场点 x 的矢量直径，则场点处的磁感应强度为：
其中 μ0 是真空中的磁导率。
如果电流集中在细线上，dl表示回路L上的线元，那么我们可以将恒定电流激发的磁场写在细线上：
磁场发散度
与电场类似，如果我们想了解磁场的更多性质，就必须知道磁场的发散度和旋度。这里我们首先讨论磁场的发散度。
式中，A定义为矢量势：
由此我们可以得到：
我们在向量分析02中得出了一个结论，向量场的旋度一定是无源场，所以对于这个公式我们可以直接得到：
由上式可知，电流激发的磁场是被动的。那么是否存在与电荷相对应的磁荷源呢？根据目前对磁单极子（孤立磁荷）的探索，尚未发现它们存在的证据。因此，我们可以把这个公式视为磁场的基本定律。
磁场旋度
这里我们仍然需要使用矢量势A：
在：
对于第一项，可以使用高斯公式将体积积分转换为面积积分。对于包围面积V'的闭合曲面S，没有电流流过，因此面积积分的结果为零；而对于第二个任期，对于当前稳定的情况，我没有：
因此，这一项的积分结果也为零。
接下来我们计算∇²A：
上式的被积函数只能在x=x'点处非零，因此体积积分只需在x点周围的小球上积分即可。此时可取J(x')=J(x)，将其取出积分符号，剩余部分积分即可：
因此，我们有：
但需要注意的是，我们在推导过程中采用的是稳态电流条件。显然，该公式仅在稳定电流条件下成立，并不是一般形式。
下一期预览
在初步了解了静电场和静磁场之后，下一期我们将开始了解麦克斯韦方程组，了解每个方程组背后的含义是什么。
对电磁世界好奇的朋友们，我们下期特刊再见。喜欢的话记得点击关注哦！
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